Mise en confiance ou effet du stress - Corrigé

Énoncé

Lucie est très sensible à la motivation et elle a remarqué un effet de cercle vicieux / cercle vertueux sur ses notes de mathématiques expertes.

Pour chaque devoir, si elle a eu une bonne note au devoir précédent, elle a 75 % de chances d'avoir de nouveau une bonne note et 25 % de chances de rater son devoir.
En revanche, si elle a raté le devoir précédent, elle a 40 % de chance de rater son devoir et 60 % de chances d'avoir une bonne note.

1. Expliquer comment on peut modéliser ce phénomène par une chaîne de Markov et donner sa matrice de transition.

2. Au premier trimestre, Lucie avait réussi le premier devoir. Quelle est la probabilité qu'elle ait réussi le quatrième et dernier devoir du trimestre ?

3. Si au contraire Lucie avait raté le premier devoir du trimestre, quelle serait la probabilité qu'elle ait réussi le quatrième ?

Solution

1. À chaque devoir, on suppose que le stress ou la confiance en soi de Lucie ne dépend que de la réussite au devoir précédent, donc on peut modéliser cet effet par une chaîne de Markov de matrice de transition  \(T=\begin{pmatrix}0,75&0,25\\0,5&0,5\end{pmatrix}\)  si on considère que l'état 1 est « elle a réussi le devoir » et l'état 2 « elle a raté le devoir ».

2. Ici, on prend  \(X_0=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\) . 
Le quatrième devoir correspond donc à  \(X_3=X_0T^3≈\begin{pmatrix}0,672&0,328\end{pmatrix}\) .
Elle a environ 67,2 % de chances d'avoir réussi le quatrième devoir.

3. Ici, on prend  \(X_0=\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}\) .
Le quatrième devoir correspond donc à  \(X_3=X_0T^3≈\begin{pmatrix}0,656&0,344\end{pmatrix}\) .
Elle a environ 65,6 % de chances d'avoir réussi le quatrième devoir.